Dviejų vektorių vektorinė sandauga: apibrėžimas, apskaičiavimo formulės išvedimas, geometrinės prasmės paaiškinimas.
Apibrėžimas: Vektorių (a ) ⃗ir b ⃗ vektorinė sandauga a ⃗ x b ⃗ vadiname vektorių c ⃗ , tenkinantį tris sąlygas:
1) a ⃗ ___ b ⃗ ir c ⃗ ___ b ⃗, tagi c ⃗ statmenas vektorių (a ) ⃗ir b ⃗ plokštumai.
2) Vektorius c ⃗ modulis, lygus lygiagretainio, kurio dvi gretimos kraštinės sutampa su vektoriais (a ) ⃗ir b ⃗ , plotais, t.y. |(c ) ⃗ |= |a ⃗ x b ⃗ |=S_(lygiagr.)=|a ⃗ |*|b ⃗ |*sinφ ;
3) Vektorius c ⃗ nukreiptas taip, kad žiūrint iš jo galo, atrodytų, jog vektorius a ⃗, pasuktas mažiausiu kampu φ prieš laikrodžio rodyklės sukimosi krypti, sutampa su vektoriaus b ⃗ kryptimi.
Žymima: (c ) ⃗= a ⃗ x b ⃗ arba c ⃗=[(ab) ⃗ ]
Formulės išvedimas: Tarkime, kad a ⃗={a_x ┤;a_y;├ a_z }=a_x i ⃗+a_y j ⃗+a_z k ⃗
b ⃗={b_x ┤;b_y;├ b_z }=b_x i ⃗+b_y j ⃗+b_z k ⃗
Vektorius (a ) ⃗ir b ⃗ dauginame kaip ip daugianarius ir pasinaudojame šios lenteles rezultatais:
i ⃗ j ⃗ k ⃗
i ⃗ 0 k ⃗ -j ⃗
j ⃗ (-k) ⃗ 0 i ⃗
k ⃗ j ⃗ (-i) ⃗ 0
Susklausti reiškiniai lygūs atitinkamiems determinantams, todėl
a ⃗ x b ⃗=|■(a_y&a_z@b_y&b_z )| i ⃗-|■(a_y&a_z@b_y&b_z )| j ⃗-|■(a_y&a_z@b_y&b_z )| k ⃗;
Dešiniojoje šios lygybės pusėje esantis reiškinys yra trečiosios eilės determinanto skleidinys pimasias eilutės elementas. Iš tiesų.
■(i&j&k@a_x&a_y&a_z@b_x&b_y&b_z )=|■(a_y&a_z@b_y&b_z )| i ⃗(-1)^(1+1)-|■(a_y&a_z@b_y&b_z )| j ⃗(-1)^(1+2)-|■(a_y&a_z@b_y&b_z )| k ⃗(-1)^(1+3)
Todėls galutinia dviejų vektorių (a ) ⃗ir b ⃗ vektorinę sandaugą a ⃗ x b ⃗ išreiškiame trečiosiomis eilės determinantu:
a ⃗ x b ⃗=■(i&j&k@a_x&a_y&a_z@b_x&b_y&b_z ) ARBA a ⃗ x b ⃗={|■(a_y&a_z@b_y&b_z )|;|■(a_y&a_z@b_y&b_z )|;|■(a_y&a_z@b_y&b_z )|}
S_□=|a ⃗ |*|b ⃗ |*sinα=|a ⃗ x b ⃗ |; S_∆=1/2 |a ⃗ x b ⃗ |
Geometrijoje vektorinę vektorių (a ) ⃗ir b ⃗ sandaugą laikoma apskaičiuojant lygiagretainio bei trikampio, kurių kraštinės sutampa su šiais vektorių plotais.
2. Trijų vektorių mišrioji sandauga:
Apibrežimas: trijų vektorių a ⃗,(b ) ⃗ir c ⃗ mišriąją sandaugą vadinamas skaučius gautas skaliariškai padauginus vektorinčžę sandaugą. a ⃗ x b ⃗ vektoriaus c ⃗. Žymima (a ⃗*(b ) ⃗ )* c ⃗ arb (a ⃗(b ) ⃗c ⃗ )
Apskaičiavimo formulės išvedimas.
Tarkim kad a ⃗={a_x;a_y;a_z }=a_x i ⃗+a_y j ⃗+a_z k ⃗ taip pat su b ir c vektoriais
Žinome, kad (a ) ⃗ir b ⃗ vektorinė sandauga a ⃗ x b ⃗ yra vektorius
*a ⃗ x b ⃗=■(a_x&a_y&a_z@b_x&b_y&b_z@c_x&c_y&c_z )={|■(a_y&a_z@b_y&b_z )|;|■(a_y&a_z@b_y&b_z )|;|■(a_y&a_z@b_y&b_z )|}.
Pdauginkime šį vektorių skaliariškai iš vektoriaus c ⃗ Tam tikslui vienavdes vektorių a ⃗ x b ⃗ ir c ⃗ koordinates sudauginkime ir sudėkime.
*(a ⃗*(b ) ⃗ )* c ⃗=|■(a_y&a_z@b_y&b_z )|*C_x-|■(a_y&a_z@b_y&b_z )|*C_y+|■(a_y&a_z@b_y&b_z )|*C_z.
Dešiniojoje lygybės pusėje parašytas reiškinys yra trečios eilės determinanto skleidinys trečiosios eilutės elementas. Iš tiesų
*■(a_x&a_y&a_z@b_x&b_y&b_z@c_x&c_y&c_z )=C_x*(-1)^(3+1) |■(a_y&a_z@b_y&b_z )|+C_y*(-1)^(3+2) |■(a_y&a_z@b_y&b_z )|+C_z*(-1)^(3+3) |■(a_y&a_z@b_y&b_z )|,
Todėl galutiniai trijų vektorių vektorių mišrioji sandauga lygi trečiosios eilės determinantui.
*(a ⃗*(b ) ⃗ )* c ⃗=■(a_x&a_y&a_z@b_x&b_y&b_z@c_x&c_y&c_z ).
Geometrinės prasmės (įrodymas)
Tarkime kas vektoriai a ⃗ x b ⃗ ir c ⃗ nekomplenarūs. Iš jų sudarykime gretasienį. Gretasienio tūris V=SOABS*H
Kadangi S_OABD=|a ⃗ x b ⃗ |=| u ⃗ |; ir H=OE=pr| u ⃗ | c ⃗, tai panaudijus lygiagretainio ploto, gretasienio aukštinės ir vektorių projekcijos formules, iš gretasienio tūrio formulės gausime V=|u ⃗ | 〖pr〗_u ⃗ c ⃗=u ⃗* c ⃗=(a ⃗ x (b ) ⃗ ) c ⃗
Kadangi kampas φ tarp vektorių (a ) ⃗ir b ⃗ turi būti smailus arba bukas kampas, tai mišrioji sandauga gali įgyti teigiamą arba neigiamą reikšmę. Kadangi tūris matuojamas teigiamais vienetais, tai gretasienio tūrio formulę galima užrašyti taip: V=|(a ⃗ x (b ) ⃗ ) c ⃗ | V_pir=1/6 |a ⃗ x b ⃗ | h.
VEKTORIŲ KOMPLANARUMAS
Komplanarūs vektoriai , tai vektoriai vienoje plokštumoje, (a ⃗ x (b ) ⃗ ) c ⃗=0 būtina ir pakankama trijų vektorių komplanarumo sąlyga.
3.BENDROSIOS PLOKŠTUMOS LYGTIS. Jos išvedimas ir normalės vektorius
Plokštumos padėtį erdvėje galima vienareišmiskai nusakyti keliais būdais, kai plokštumos π padėtis erdvėje, apibūdinama jos tašku M_0 (x_0;y_0;z_0) bei nenuliniui jai statmenu vektoriumi n ⃗={A;B;C}, kuris vadinamas plokštumos normalėsd vektoriumi.
Parinkime kintamąjį plokštumos tašką M(x;y;z), ir nubrėškime vektorių
(M_0 M ) ⃗=(r ) ⃗-(r_0 ) ⃗={x-x_0;y-y_0;z-z_0 }; čia (r ) ⃗ ir (r_0 ) ⃗ yra taškų M ir M0 spinduliai vektoriai.
Komentarų nėra:
Rašyti komentarą